Recursivitate. Probleme propuse

 

Probleme:

1.        Sa se srie o functie recursiva care afiseaza valorile de la 1 la n

2.        Sa se scrie o functie recursiva care afiseaza valorile de la n la 1

3.        Sa se scrie o functie recursiva care calculeaza n!

4.        Sa se scrie o functie recursiva care calculeaza suma primelor n numere naturale

5.        Sa se scrie o functie recursiva care calculeaza produsul a*b (ca fiind o adunare repetata)

6.        Sa se scrie o functie recursiva care calculeaza a^b

7.        Sa se scrie o functie recursiva care calculeaza a: b (ca fiind o scadere repetata ) Ex: 11: 2 =5 rest 1

8.        Sa se descompuna un numar in suma de doua numere:

Ex 11 se descompune in: 1+10, 2+9, 3+8, 4+7, 5+6

 

9.      Expresii:    

1*2+2*3+3*4+4*5

1+3+5+7+… 

1*4*7*10*…

2*4*6*8*….

1x2+2x3+3x4+....+nx(n+1)
½+2/3+3/4+......+n/(n+1)

  (1+2)x(2+3)x(3+4).....x(n+n+1)

 

10. Sa se determine :

 

 

11.    

12.     Se citeşte x întreg. Se cere programul pentru calculul funcţiei 9functia lui Manna Pnueli):

13.     Se dă funcţia, definită pe . Se citesc m şi n. Să se calculeze Ack(m,n). Functia lui Ackerman

14.     Şirul lui Fibonacci. Se consideră şirul definit astfel:

0,1,1,2,3,5,8,13 u(7)=13

 

15.     Se dau două numere naturale a şi b. Se cere să se calculeze cel mai mare divizor comun al lor. Indicaţie: se foloseşte formula recursivă a celui mai mare divizor comun

16.     Să se scrie o funcţie recursivă care afiseaza cifrele unui numar incepand de la unitati

 

N=1234

 

17.     Să se scrie o funcţie recursivă pentru calculul sumei cifrelor unui număr natural.

18.     Să se scrie o funcţie recursivă pentru transformarea unui număr natural n, din baza 10 în baza k (1<k<10).

19.     Se consideră şirurile definite recurent astfel:

Să se scrie un program care să citească a, b şi n şi să calculeze  şi .

20.     Sa se calculeze, folosind o functie recursiva, valoarea expresiei

 

 

 

21. Sa se afiseze cifrele unui numar incepand de la unitati

22. Sa se determine suma cifrelor unui numar

23. Sa determine cifra cea mai mare a unui numar

24. sa se determine suma cifrelor pare ale unui numar

25. sa se numere cifrele unui numar

26. sa se numere cifrele pare ale unui numar

27. sa se numere de cate ori se gaseste cifra x intr-un numar

28. sa se afiseze divizorii unui numar

29. Sa se numere divizorii unui numar

30. sa se determine suma divizorilor unui numar

31. Sa se determine daca un numar este prim

32. inversul unui numar

33. Sa se genereze primii n termeni ai unei progresii aritmetice (geometrice), daca se cunosc primul termen si ratia.

34. un subprogram recursiv care determina de cate ori se gaseste o cifra intr-un numar

35. un subprogram recursiv care elimina spatiile dintr-un sir

36. un subprogram recursiv care elimina spatiile inutile dintr-un sir (intre subsiruri va ramane numai cate un spatiu)

37.  

38.     Scrieti un subprogram recursiv pentru determinarea si afisarea valorilor din triunghiul lui Pascal pana la nivelul k. Amintim ca triunghiul lui Pascal este format din coeficientii binomului lui Newton (a+b)n, pentru n=1,2…k
Exemplu: pentru k=5, triunghiul este:
        1
      1  1
    1  2  1
  1  3  3  1
1  4  6  4  1

39. sa se afiseze o piramida de tipul:

              1

             2 2

            3 3 3

          4 4 4 4 etc

 

40.     Pentru n dat, sa se construiasca recursiv triunghiul de numere de mai jos, fara a folosi nici o instructiune repetitiva.
1
1  2 
………………..
1  2  3 ……….. n-1
1  2  3 ……….. n-1  n

41.     Pentru n dat, sa se construiasca recursiv triunghiul de numere de mai jos, fara a folosi nici o instructiune repetitiva.
1  2  3 ……….. n-1  n
1  2  3 ……….. n-1
………………..
1  2 
1

1.        Pentru n dat, sa se construiasca recursiv triunghiul de numere de mai jos, fara a folosi nici o instructiune repetitiva.
n  n-1  n-2  …………..3  2  1
n  n-1  n-2  …………..3  2 
………………..
n  n-1 
n

2.      un subprogram recursiv care determina daca o valoare se gaseste intr-un vector

3.      citirea, afisarea unui vector recursiv

4.      suma elementelor unui vector

5.      suma elementelor pare dintr-un vector

6.      Sa se calculeze, recursiv, maximul elementelor dintr-un vector

7.      Scrieti o functie recursiva care afiseaza elementele unui vector in ordine inversa.

8.      Se da un vector x cu n componente numere naturale cu cel mult 9 cifre. Sa se afiseze suma cifrelor componentelor vectorului.

9.      un subprogram recursiv care calculeaza valoarea unui polinom de grad n intr-o valoare data

10. suma elementelor de pe o linie a unei matrici

11. suma elementelor de pe o coloana a unei matrici

12. afisarea elementelor de pe diagonalele pp si sec dintr-o matrice patratica

 

13. *un cioban isi cumpara oi. stiind ca o oaie dupa un an face o mieluta si mieluta devine dupa un an mioara iar mioara devine dupa un an oaie, ce va contine turma ciobanului dupa n ani?

Obs. Nu se nasc berbecuti si nici nu mor animale

 

dupa un an:

1 oaie si o mileluta nici o mioara

dupa doi ani:

o oaie, o mieluta si o mioara

 

dupa 3 ani:

2 oi,1 mioara , mielut 1

 

dupa 4 ani

3 oi, 1 mioara, 2 mieluti

14.      

15.     Scrieti o functie recursiva care transforma un numar din baza 10 in baza b (b<10).

16.     Scrieti o functie recursiva care transforma un numar din baza b in baza 10 (b<10).

17.     O persoana are de coborat n trepte. La fiecare pas, el poate cobori 1 sau 2 trepte. Cate posibilitati are de a cobori scara?
Exemplu: pentru n=12, exista 233 de posibilitati.

18.     Sa se descompuna un numar in factori primi, folosind un algoritm recursiv. (Ex: 19344=2⁴*3*13*31)

19.     Numarul de partitii ale unei multimi cu n elemente in k submultimi este S(n,k), numit numarul lui Stirling de speta a II-a si este definit de relatiile:
S(n,1)=S(n,n)=1
S(n+1,k)=S(n,k-1)+kS(n,k)
Sa se calculeze numarul partitiilor unei multimi cu n elemente in submultimi de k elemente. Exemplu: S(5,3)=25
(Retineti acest rezultat!)

20.     Se da un vector cu n elemente intregi. Sa se verifice, folosind o functie recursiva, daca exista macar un element pozitiv in vector.

21.     Fie sirul 1,2,2,3,3,3,… Gasiti o definitie recursiva a acestui sir si scrieti un program care o implementeaza.

22.     Se considera ca diagonalele unei matrice patratice o impart pe aceasta in 4 zone: nord, sud, est si vest. Scrieti cate o functie recursiva pentru a calcula:

a.        Suma elementelor din nord

b.       Produsul elementelor din vest

c.        Numarul de elemente pare din sud

d.       Procentul de zerouri din est

23.     Scrieti un program care descompune un numar dat n ca suma de puteri distincte ale lui 2.
Indicatie: Se va folosi o functie care determina cea mai mare valoare p cu proprietatea ca 2^p<=n
Exemplu: n=4978 se obtine descompunerea 2¹+2⁴+2⁵+2⁶+2⁸+2⁹+2¹²

24.     Sa se completeze in spirala, folosind un algoritm recursiv, o matrice cu n linii si n coloane, cu primele n² numere intregi.
Exemplu: pentru n=4
 1  2  3  4
12 13 14  5
11 16 15  6
10  9  8  7  

25.     Din numarul 4 se poate obtine orice numar natural N scris in baza 10 prin aplicarea urmatoarelor operatii:

a.        Se scrie la sfarsit cifra 4

b.       Se adauga la sfarsit cifra 0

c.        Daca numarul este par, se imparte la 2

Sa se scrie un program care produce un sir de numere construit conform regulilor precedente, sir in care primul numar este 4 iar ultimul este N.
Exemplu: pentru N=7024, secventa este: 4 à 2 à 1 à 14 à 140 à 1404 à 702 à7024.
Indicatie: Sirul se va genera invers, de la N la 4, aplicand transformarile inverse.

26.     Fie sirul 1,2,3,4,5,10,20,40,80,… ai carui termeni, incepand cu al saselea, satisfac relatia a[i]=a[i-1]*2. Sa se scrie un algoritm recursiv care descompune un numar pozitiv n ca suma de termeni distincti din sirul definit.
Exemplu: pentru n=4578 se obtine descompunerea 3+5+10+80+640+1280+2560

27.     Codul Fibonacci de ordinul n, n>=2, este secventa c_n. Daca l este sirul nul, atunci codul Fobonacci se poate obtine recursiv astfel:
c₂=(l), c₃=(0,1), c₄=(00,01,10)
iar c_n, n>4 se obtine prin concatenarea a doua subsecvente: prima secventa se obtine prefixand cu 0 fiecare codificare din c_n-1, a doua prefixand cu 10 fiecare codificare din c_n-2. Elaborati un algoritm care construieste codul lui Fibonacci pentru orice n dat.

Exemplu: c₅=(000,001,010,100,101)

28.     Sa se verifice daca doua matrici sunt identice, folosind o functie recursiva.

29.     Afisati tabla inmultirii cu x, folosind o functie recursiva.

30.     Sa se afiseze, fara a utiliza instructiuni repetitive, triunghiul:
2  4  6  ... 2(n-1)  2n
4  6  ... 2(n-1)  2n
6  ... 2(n-1)  2n
.......
2(n-1)  2n
2n

 

 

Fractali

 

Fractalii sunt figuri geometrice care se repeta in ele insele de un anumit numar de ori.

 

31.     Se deseneaza un patrat cu latrura de o anumita lungime. In exteriorul lui se deseneaza alte patrate cu latura egala cu jumatate din latura patratului initial. Se repeta procedeul de n ori (sau pana cand se obtin patrate cu latura suficient de mica) cu fiecare din patratele obtinute. Figura obtinuta se numeste „scara diavoluiui”.
                   

32.     Se deseneaza un patrat cu latura de o anumita lungime. Se imparte patratul in 9 patrate egale si se hasureaza patratul din mijloc. Se repeta procedeul cu fiecare din cele 8 patrate nehasurate de la fiecare pas, pana se obtin patrate cu o latura nesemnificativa. Figura obtinuta se numeste „covorul lui Sierpinski”.
                            

33.     Sa se scrie un program care deseneaza in mijlocul ecranului un patrat cu latura L. In fiecare din varfurile patratului se deseneaza cate un patrat cu latura L/2. Se repeta procedeul pentru fiecare din aceste patrate, sau de un anumit numar de ori, sau pana se obtin patrate cu latura nesemnificativa.

34.     „Linia de coasta Koch”. Fie un segment de drapta AB dat prin coordonatele capetelor sale. Se imparte segmentul in 3 segmente egale prin punctele C si D. Se construieste triunghiul echilateral cu latura CD. Se sterge apoi segmentul CD. Se procedeaza cu segmentele AC, CM, MD si DB exact la fel cum s-a procedat cu AB. Se repeta procedeul de un anumit numar de ori.

 

 

35.     Sa se deseneze curba lui Koch pentru toate cele 3 laturi ale unui triunghi echilateral, obtinandu-se astfel „curba fulgului de zapada”.

36.     Sa se deseneze un patrat cu diagonalele paralele cu axele de coordonate. Sa se deseneze patratul obtinut prin unirea mijloacelor laturilor patratului initial. Sa se repete procedeul cu fiecare patrat nou obtinut. Fiecare patrat va fi hasurat cu o culoare generata aleator.